【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．

（1）求線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)線段AF的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即可求得，將它們代入即可得解。

（2）設(shè)，由△AOB的面積是△BOF面積的3倍可得：直線的斜率存在，且的面積是面積的2倍，即可整理得：，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，，結(jié)合即可求得：，問題得解。

（1）設(shè)線段AF的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由拋物線的方程可得：焦點(diǎn)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

即：

又在拋物線上，所以，

將代入上式可得：

整理得：

所以線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程為：

（2）依據(jù)題意作出圖形，如下：

設(shè)，且與的取值一正、一負(fù)

因?yàn)椤鰽OB的面積是△BOF面積的3倍，所以直線的斜率存在，

且的面積是面積的2倍，

即：，整理得：

設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立直線與拋物線方程可得：，整理得：.

所以，

由解得：.

所以直線的方程為：

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，點(diǎn)E為AD邊上異于A，D兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且EF//AB，G為線段ED的中點(diǎn)，現(xiàn)沿EF將四邊形CDEF折起，使得AE與CF的夾角為60°，連接BD，F(xiàn)D．

(1)探究：在線段EF上是否存在一點(diǎn)M，使得GM//平面BDF，若存在，說明點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求三棱錐G—BDF的體積的最大值，并計(jì)算此時(shí)DE的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，其左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且都在第一象限，軸，若直線與軸的交點(diǎn)分別為，判斷是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系平面上的一列點(diǎn)，，…，，記為，若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，，其中為與軸正方向相同的單位向量，則稱為點(diǎn)列.

（1）判斷，，，…，，是否為點(diǎn)列，并說明理由；

（2）若為點(diǎn)列.且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，（即）任取其中連續(xù)三點(diǎn)，，判斷的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并給予證明；

（3）若為點(diǎn)列，正整數(shù)，滿足.求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右準(zhǔn)線方程為x＝4．過點(diǎn)A1的直線交橢圓C于x軸上方的點(diǎn)P，交橢圓C的右準(zhǔn)線于點(diǎn)D．直線A2D與橢圓C的另一交點(diǎn)為G，直線OG與直線A1D交于點(diǎn)H．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若HG⊥A1D，試求直線A1D的方程；

（3）如果，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)盒子里有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，從盒子里隨機(jī)取球，取到每個(gè)球的可能性是相同的，設(shè)取到一個(gè)紅球得1分，取到一個(gè)黑球得0分.

（Ⅰ）若從盒子里一次隨機(jī)取出了3個(gè)球，求得2分的概率;

（Ⅱ）著從盒子里每次摸出一個(gè)球，看清顏色后放回，連續(xù)摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，從直線上一點(diǎn)P向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則線段長的最小值為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．

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【題目】如圖，已知在棱柱的面底是菱形，且面ABCD，

為棱的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積.

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