Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右準線方程為x＝4．過點A1的直線交橢圓C于x軸上方的點P，交橢圓C的右準線于點D．直線A2D與橢圓C的另一交點為G，直線OG與直線A1D交于點H．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若HG⊥A1D，試求直線A1D的方程；

（3）如果，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題可得：，利用橢圓準線方程可得，即可求得，問題得解。

（2）設(shè)，即可表示直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程可求得，即可求得，由HG⊥A1D可列方程，整理得：，結(jié)合即可求得，從而求得，問題得解。

（3）設(shè)，，，，表示出直線的方程為：，直線的方程為：，將直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，即可求得，，，聯(lián)立直線的方程與直線的方程即可求得，即可表示出,，利用列方程可得：，即可表示出，結(jié)合即可求得，問題得解。

（1）由題可得：，又橢圓右準線方程為＝4，

所以，解得：，又，解得：

所以橢圓C的標準方程為：.

（2）設(shè)（）,則且

所以直線的方程為：

聯(lián)立直線的方程與準線方程可得：，

整理得：，所以，

所以.

又HG⊥A1D，所以，即：

聯(lián)立可得：.

所以.

所以直線的方程為：.

（3）設(shè)，，，，其中

直線的方程為：

聯(lián)立橢圓方程可得：，解得

直線的方程為：

聯(lián)立橢圓方程可得：，解得，

所以直線的方程為：

聯(lián)立直線的方程與直線的方程可得：，

解得：

所以,

又，所以

所以

整理得：

因為，所以，整理得：