Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心”，且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心．請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）．函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱中心為

（1，2）

．
（2）．若函數(shù)g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“拐點(diǎn)”的定義求出f''（x）=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)．
（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱中心，利用對(duì)稱中心的性質(zhì)可得答案；

解答：解：（1）依題意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，2）．
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x的對(duì)稱中心為（1，2）；
故答案為：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

+

1

3

(1-x)3-

1

2

(1-x)2+3（1-x）-

5

12

+

1

1-x- 1 2

=2，
∴g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，1）對(duì)稱，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+g（

3

2013

）+…+g（

2012

2013

）
=[g（

1

2013

）+g（

2012

2013

）]+[g（

2

2013

）+g（

2011

2013

）]+…+[g（

1006

2013

）+g（

1007

2013

）]
=2×1006=2012，
故答案為：2012．

點(diǎn)評(píng)：本題在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程的交匯處命題，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)性，而且設(shè)問的方式具有較大的開放性，情景新穎，解題的關(guān)鍵是：深刻理解函數(shù)“拐點(diǎn)”的定義和函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的意義．其本質(zhì)是：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且任何一個(gè)三次函數(shù)的拐點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．