【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離比為.
(1)求動點(diǎn)P所在曲線E的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q為曲線E與軸正半軸的交點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線,與曲線E相交于異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn),點(diǎn)C滿足,直線和分別與以C為圓心,為半徑的圓相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求△QAC與△QBC的面積之比的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1) 設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 由題意可得,整理可得曲線E的方程;
(2) 解法一:可得圓C方程為,設(shè)直線MQ的方程為,設(shè)直線NQ的方程為,分別與圓聯(lián)立,可得,,可得,可得,代入可得答案;
解法二:可得圓C方程為,設(shè)直線MQ的方程為,則點(diǎn)C到MQ的距離為, , ,設(shè)直線NQ的方程為,同理可得: ,,可得,代入可得答案.
解:(1)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為,由題意可得,
整理,得:,即為所求曲線E的方程;
(2)(解法一)由已知得:,,,即圓C方程為
由題意可得直線MQ,NQ的斜率存在且不為0
設(shè)直線MQ的方程為,與聯(lián)立得:
所以,
同理,設(shè)直線NQ的方程為,與聯(lián)立得:
所以
因此
由于直線過坐標(biāo)原點(diǎn),所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
設(shè),,所以,
又在曲線上,所以,即
故,
由于,所以,
(解法二)由已知得:,,,即圓C方程為
由題意可得直線MQ,NQ的斜率存在且不為0
設(shè)直線MQ的方程為,則點(diǎn)C到MQ的距離為
所以
于是,
設(shè)直線NQ的方程為,同理可得:
所以
由于直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),所以點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
設(shè),,所以,
又在曲線上,所以,即
故,
由于,所以,
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【題目】已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為右支上一動點(diǎn),的內(nèi)切圓的圓心為,半徑,則的取值范圍為______.
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【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
男 | 女 | |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。
(2)能否在犯錯誤的概率不超過百分之一的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】為保證樹苗的質(zhì)量,林業(yè)管理部門在每年3月12日植樹節(jié)前都對樹苗進(jìn)行檢測,現(xiàn)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度單位長度:,其莖葉圖如圖所示,則下列描述正確的是( )
A. 甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
B. 甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
C. 乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
D. 乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
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【題目】在正方體中,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動點(diǎn).有以下三個(gè)命題:
①異面直線與所成的角是定值;
②三棱錐的體積是定值;
③直線與平面所成的角是定值.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t.市場價(jià)格x(單位:千元)與市場供應(yīng)量p(單位:萬件)之間近似滿足關(guān)系式:,其中k.b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率為75%時(shí),若市場價(jià)格為5千元,則市場供應(yīng)量約為1萬件;若市場價(jià)格為7千元,則市場供應(yīng)量約為2萬件.
(1)試確定k.b的值;
(2)市場需求量q(單位:萬件)與市場價(jià)格x近似滿足關(guān)系式:.P = q時(shí),市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格.當(dāng)市場平衡價(jià)格不超過4千元時(shí),試確定關(guān)稅稅率的最大值.
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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,拋物線上存在一點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,使是等邊三角形且面積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),求此時(shí)圓的方程.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系(),點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),點(diǎn)在線段的延長線上,且滿足,點(diǎn)的軌跡為。
(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求面積的最小值。
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