精英家教網(wǎng)直角三角形ABC中,∠C=90°,B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,D在邊BC上,BD=3DC,△ABC的周長為12.若一雙曲線E以B、C為焦點(diǎn),且經(jīng)過A、D兩點(diǎn).
(1)求雙曲線E的方程;
(2)若一過點(diǎn)P(3,0)的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且
MP
PN
,問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使
BC
⊥(
GM
GN
)
?若存在,求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)設(shè)出雙曲線的方程,則可表示出B,C,D坐標(biāo),根據(jù)BD=3DC求得a和c的關(guān)系,進(jìn)而利用雙曲線的定義以及三角形的周長建立方程組求得a,進(jìn)而求得c和b,則雙曲線的方程可得.
(2)在x軸上存在定點(diǎn)G使題設(shè)成立,設(shè)出直線l的方程,根據(jù)
MP
PN
求得x1-t=λ(x2-t),把直線方程代入橢圓方程消去y,利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2,進(jìn)而求得t,則定點(diǎn)G的坐標(biāo)可求.
解答:解:(1)解:設(shè)雙曲線E的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1  (a>0,b>0)

則B(-c,0),D(a,0),C(c,0).
由BD=3DC,得c+a=3(c-a),即c=2a
|AB|2-|AC|2=16a2
|AB|+|AC|=12-4a
|AB|-|AC|=2a.

解之得a=1,∴c=2,b=
3

∴雙曲線E的方程為x2-
y2
3
=1

(2)解:設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G(t,0),使
BC
⊥(
GM
GN
)

當(dāng)l⊥x軸時(shí),由
MP
PN
,顯然成立
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2
MP
PN
,即(3-x1,y1)=λ(x2-3,y2),即3-x1=λ(x2-3),即λ=
3-x1
x2-3

BC
=(4,0)
,
GM
GN
=(x1-t-λx2+λt,y1y2)
,
BC
⊥(
GM
GN
)
?x1-t=λ(x2-t),將λ=
3-x1
x2-3
代入得2x1x2-(3+t)(x1+x2)+6t=0①
將y=k(x-3)代入方程為x2-
y2
3
=1
整理得得:(3-k2)x2-6k2x-9k2-3=0
其中k2-3≠0且△>0,即k2
3
x1+x2=
-6k2
3-k2
, x1x2=
-9k2-3
3-k2

代入①,得:
-18k2-6
3-k2
+
6(t+3)k2
3-k2
+6t=0
,化簡得:t=
1
3

因此,在x軸上存在定點(diǎn)G(
1
3
,0)
,使
BC
⊥(
GM
GN
)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生分析問題,解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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直角三角形ABC中,斜邊BC長為2,O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)
-m
滿足
OP
=
OA
+
1
2
(
AB
+
AC
)
,則|
AP
|
=
 

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等腰直角三角形ABC中,AB=1,銳角頂點(diǎn)C在平面α內(nèi),β∥α,α、β的距離為1,隨意旋轉(zhuǎn)三角形ABC,則三角形ABC在β另一側(cè)的最大面積為
 

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15、(選做題)(幾何證明選講選做題)如圖,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D,AD=2,則∠C的大小為
30°

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2
,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面ADE;
(2)求直線AB與平面ADE所成角的大。

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(1)若M是CD的中點(diǎn),求
MA
MB
的值;
(2)求(
MA
+
MB
)•
MC
的最小值.

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