Question

15．在△ABC中，已知sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB．
（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；
（2）求角B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用條件，結(jié)合和角的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理，即可得出結(jié)論．
（2）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯(lián)立小于b，得到關(guān)于a與c的關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，即可求出B的范圍；

解答 證明：（1）∵sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA$\frac{1+cosC}{2}$+sinC$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵A+B+C=π，
∴A+C=π-B，
∴sinA+sinC+sin（π-B）=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
∴根據(jù)正弦定理得：a+c=2b．即c-b=b-a，
故a、b、c成等差數(shù)列；
（2）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
又cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴消去b化簡(jiǎn)得：cosB=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）}{8ac}-\frac{1}{4}$≥$\frac{6ac}{8ac}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
又B為三角形的內(nèi)角，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．