Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+b+a．
（1）當a=1時，求函數(shù)取得最大值與最小值時x的集合；
（2）當x∈[0，π]時，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質，當x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時，k∈Z時，f（x）有最大值，當x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時，k∈Z時，f（x）有最小值．
（2）由x∈[0，π]，可得，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，顯然a≠0，分①當a＞0時和②當a＜0時兩種情況，分別根據(jù)f（x）的值域，求得a、b的值．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+b+1，
當x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z時，f（x）有最大值，此時{x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，
當x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z時，f（x）有最小值，此時{x|x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z}；
（2）f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+）+a+b，
∵x∈[0，π]，∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1．
顯然a≠0，
①當a＞0時，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$a，
∴b≤f（x）≤（$\sqrt{2}$+1）a+b，
而f（x）的值域是[3，4]，
∴b=3，（$\sqrt{2}$+1）a+b=4，
解得a=$\sqrt{2}$-1，
②當a＜0時，$\sqrt{2}$a≤$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）≤-a，$\sqrt{2}$a+a+b≤f（x）≤b，而f（x）的值域是[3，4]，
故有，$\sqrt{2}$a+a+b=3，且b=4，解得a=1-$\sqrt{2}$，b=4．
綜上可得，a=$\sqrt{2}$-1，b=3或a=1-，b=4．

點評 本題主要考查復合三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．