Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m²的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為40元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為24.8元/m，池底建造單價(jià)為8元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．
（Ⅰ）試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；
（Ⅱ）若由于地形限制，該池的寬不能超過5m，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)污水處理池的寬為xm，則長(zhǎng)為

162

x

m．推出總造價(jià)函數(shù)的解析式，利用基本不等式求出最值．
（2）由限制條件知0＜x≤5，設(shè)g（x）+x+

100

x

（0＜x≤5），通過函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)污水處理池的寬為xm，則長(zhǎng)為

162

x

m
總造價(jià)為f（x）=40×(2x+2×

162

x

)+24.8×2x+8×162-----（2分）
=129.6x+

129.6×100

x

+1296=129.6(x+

100

x

)+1296
≥129.6×2

x• 100 x

+1296=3888元．-----（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

100

x

（x＞0），即x=10時(shí)取等號(hào)．-----（5分）
∴當(dāng)長(zhǎng)為16.2m，寬為10m時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為3888元．-----（6分）
（2）由限制條件知0＜x≤5，設(shè)g（x）+x+

100

x

（0＜x≤5），
由函數(shù)性質(zhì)g（x）在[0，5]上是減函數(shù)，-----（8分）
∴當(dāng)x=5時(shí)（此時(shí)

162

x

=32.4），g（x）有最小值，-----（10分）
即f（x）有最小值129.6×(5+

100

5

)+1296=4536（元）．-----（11分）
∴當(dāng)長(zhǎng)為32.4m，寬為5m時(shí)總造價(jià)最低為4536元．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，實(shí)際問題的應(yīng)用，基本不等式求解函數(shù)的最值，以及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．