Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程、直線l的參數(shù)方程化為普通方程即可；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，得關(guān)于t的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，求出t₁、t₂的關(guān)系式，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程ρsin²θ=acosθ（a＞0），
可化為ρ²sin²θ=aρcosθ（a＞0），
即y²=ax（a＞0）；（2分）
直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，化為普通方程是y=x-2；（4分）
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y²=ax（a＞0）中，
得t2-

2

(a+8)t+4(a+8)=0；
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t1+t2=

2

(a+8)，t1•t2=4(a+8)；（6分）
∵|PA|•|PB|=|AB|²，
∴(t1-t2)2=t1•t2，
即(t1+t2)2=5t1•t2；（9分）
∴[

2

(8+a)]2=20(8+a)，
解得：a=2，或a=-8（舍去）；
∴a的值為2．（12分）

點評：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)先把參數(shù)方程與極坐標(biāo)化為普通方程，再解答問題，是中檔題．