Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，設(shè)，滿足.

（i）試證的值為定值，并求出此定值；

（ii）試求四邊形ABCD面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)為定值0；(ii)最大值為4．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦長公式求弦長，即三角形的底邊，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求其高，進(jìn)而得出面積，理基本不等式求其最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意，，又， 2分

解得,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分

（Ⅱ） (i) 直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0）時(shí)不滿足

設(shè)直線AB的方程為，設(shè)

聯(lián)立，得

(*)

6分

7分

8分

整理得

所以為定值0. 10分

(ii) 由(i),不妨取,則

設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則

11分

12分

當(dāng)時(shí)(滿足(*)式)取等號.

.

即四邊形ABCD的面積的最大值為4.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.