Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(無需證明) ；

（Ⅲ）若實數(shù)滿足，則稱為的二階不動點，求函數(shù)的二階不動點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ），；（Ⅲ）3.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式，由內(nèi)而外逐步代入即可求出結果；

（Ⅱ）根據(jù)題意，得到函數(shù)的解析式，進而可得出其單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅲ）先由題意，得到，分別討論，，三種情況，結合函數(shù)零點存在定理，即可求出結果.

（Ⅰ）因為，，所以，

所以．

．

（Ⅱ）因為，

當時，，遞減區(qū)間為：；

當時，，遞減區(qū)間為；

因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，．

（Ⅲ）由題可得：．

當時，由，記，

則在上單調(diào)遞減，且，，

故在上有唯一零點，即函數(shù)在上有唯一的二階不動點．

當時，由，得到方程的根為，即函數(shù)在上有唯一的二階不動點．

當時，由，記，

則在上單調(diào)遞減，且，，

故在上有唯一零點，即函數(shù)在上有唯一的二階不動點．

綜上所述，函數(shù)的二階不動點有3個．