【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸,離心率為,且長軸長是短軸長的倍.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)過橢圓左焦點的直線交于, 兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式 恒成立,求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)采用待定系數(shù)法,根據(jù)條件所給的幾何關(guān)系列式,再結(jié)合 ,解出 ;(2)首先分兩種情況,當直線與軸垂直的時候,可得出兩點的坐標,從而計算可得的值,當直線與軸不垂直的時候,設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,帶入的坐標關(guān)系,得到函數(shù)的最大值,比較兩種情況下的最大值, ,從而得出的最小值.
試題解析:(1)依題意, ,
解得, , 橢圓的標準方程為.
(2)設(shè),
,
當直線垂直于軸時, , 且,
此時, , .
當直線不垂直于軸時,設(shè)直線: ,
由,得,
, ,
要使不等式 恒成立,
只需,即的最小值為.
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【題目】已知動點E到點A與點B的直線斜率之積為,點E的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)過點D作直線l與曲線C交于, 兩點,求的最大值.
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【題目】自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化,變化由線為.根據(jù)心理學家的統(tǒng)計,人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),已知小英的生日是2003年3月20日(每年按365天計算).
(1)請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù);
(2)試判斷小英在2019年4月22日三種節(jié)律各處于什么階段,當日小英是否適合參加某項體育競技比賽?
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計居民月用水量的中位數(shù).
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【題目】在△ABC中,若acos2ccos2b,那么a,b,c的關(guān)系是( )
A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c
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【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額如下表:
商店名稱 | A | B | C | D | E |
銷售額x/千萬元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額y/百萬元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)畫出散點圖,觀察散點圖,說明兩個變量是否線性相關(guān);
(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的線性回歸方程;
(3)當銷售額為4千萬元時,估計利潤額的大小.
(參考公式:,)
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【題目】墻上有一壁畫,最高點處離地面米,最低點處離地面米,距離墻米處設(shè)有防護欄,觀察者從離地面高米的處觀賞它.
(1)當時,觀察者離墻多遠時,視角最大?
(2)若,視角的正切值恒為,觀察者離墻的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間(無需證明) ;
(Ⅲ)若實數(shù)滿足,則稱為的二階不動點,求函數(shù)的二階不動點的個數(shù).
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【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;
(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實數(shù)a的取值范圍.
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