Question

【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間（其中），使得當時，的取值范圍恰為，則稱函數(shù)是上的正函數(shù)，區(qū)間叫做等域區(qū)間．

（1）已知是上的正函數(shù)，求的等域區(qū)間；

（2）試探究是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

試題分析：（1）由定義得當時， 代入解析式解方程組即可；（2）假設(shè)是區(qū)間上的正函數(shù)，因為函數(shù)是上的減函數(shù)， 所以當時， 即， 兩式相減可得代入得，由和得，故關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，利用一元二次方程根的分布從對稱軸、判別式和區(qū)間端點值三方面得不等式組解出即可；遇到這類題可以先畫出符合的圖像，在列不等式組比較好，否則容易漏解．

試題解析：（1）因為是上的正函數(shù)，且在上單調(diào)遞增， 所以當時， 即，解锝，故的等域區(qū)間為．

（2）因為函數(shù)是上的減函數(shù)，

所以當時， 即

兩式相減得，即，

代入得，

由，且得，

故關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，

記，則 解得．