【題目】如圖所示，在三棱錐中，側(cè)面， 是全等的直角三角形， 是公共的斜邊且， ，另一側(cè)面是正三角形.

（1）求證： ；

（2）若在線段上存在一點(diǎn)，使與平面成角，試求二面角的大小.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意將幾何體補(bǔ)形，然后建立空間直角坐標(biāo)系即可證得.

(2)利用空間坐標(biāo)系結(jié)合平面的法向量可得二面角的大小為.

試題解析：

解：（1）證明：作面于，連接，由題意得， ，故中， ，所以為直角三角形， ，又為在平面內(nèi)的射影， ，同理得，又，所以四邊形是正方形且，將所得四棱錐補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， ，所以，則.

（2）設(shè)是線段上上一點(diǎn)，則， ，平面的一個(gè)法向量為， ，要使與平面成角，由圖可知， 與的夾角為，所以 ，則，解得，則，故線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 與平面成角.

， ， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量，

則， ，令則，

，同理平面的法向量，

，設(shè)平面與平面成角為，

則， .

練習(xí)冊(cè)系列答案
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D.（﹣∞， ln2]

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【題目】某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.

(1)若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，求的分布列；

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)，若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值.

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