Question

某地區(qū)的一種特色水果上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格下跌．經(jīng)市場(chǎng)分析，價(jià)格模擬函數(shù)為以下三個(gè)函數(shù)中的一個(gè)：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）（注：函數(shù)的定義域是[0，5]）．其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，依此類推．
（Ⅰ）請(qǐng)判斷以上哪個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)能準(zhǔn)確模擬價(jià)格變化走勢(shì)，為什么？
（Ⅱ）若該果品4月1日投入市場(chǎng)的初始價(jià)格定為6元，且接下來(lái)的一個(gè)月價(jià)格持續(xù)上漲，并在5 月1日達(dá)到了一個(gè)最高峰，求出所選函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，為保護(hù)果農(nóng)的收益，打算在價(jià)格下跌期間積極拓寬境外銷售，且銷售價(jià)格為該果品上市期間最低價(jià)格的2倍，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該果品在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌及境外銷售的價(jià)格．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（Ⅰ）從研究三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，對(duì)照著題目中所說(shuō)的“上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格下跌”的市場(chǎng)行情，確定滿足題意的函數(shù)；
（Ⅱ）由題目中的敘述可知，f（0）=6，f′（1）=0，從中解出兩個(gè)參數(shù)p，q，再寫出f（x）的解析式．
（Ⅲ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，計(jì)算其在0≤x≤5時(shí)的減區(qū)間和最小值，從而確定該果品在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌及境外銷售的價(jià)格．

解答： 解：（Ⅰ）應(yīng)選f（x）=x（x-q）²+p．
因?yàn)棰賔（x）=p•q^x中單調(diào)函數(shù)；②f（x）=px²+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征；③f（x）=x（x-q）²+p中，f'（x）=3x²-4qx+q²，令f'（x）=0，得x=q，x=

q

3

，f'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，符合價(jià)格走勢(shì)；
（Ⅱ）由f（0）=6，f′（1）=0，得

6=p 0=3-4p+q2

，解得

p=6 q=3

（q=1舍去）．
∴f（x）=x（x-3）²+6，即f（x）=x³-6x²+9x+6（0≤x≤5）；
（Ⅲ）由f'（x）＜0，解得1＜x＜3，

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f（x）	6	↑	極大值 10	↓	極小值 6	↑	26

所以函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+6在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，
故這種水果在5月，6月份價(jià)格下跌．且境外銷售的價(jià)格為2×6=12（元）

點(diǎn)評(píng)：本題屬于較為基礎(chǔ)的應(yīng)用題，題目中所涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜，都是基本知識(shí)和方法的考查，關(guān)鍵是怎樣把現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，這對(duì)于學(xué)生是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)這也是解決大多數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵所在．