Question

設f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：當a≥1時，對?s、t∈（0，2]，都有f（s）≥g（t）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=3x(x-

2

3

)，由g′(x)=3x(x-

2

3

)=0，得x=0或x=

2

3

，由此列表討論，能求出g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值、最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只須證明當a≥1時，對?x∈（0，2]，f（x）≥1，由此利用構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)能證明當a≥1時，對?x∈（0，2]，f（x）≥1．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)=3x(x-

2

3

)…（2分）
由g′(x)=3x(x-

2

3

)=0，得x=0或x=

2

3

，
列表討論，得：

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	↘	極 小值- 85 27	↗	1

由上表可知：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為1，最小值為-

85

27

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只須證明：
當a≥1時，對?x∈（0，2]，f（x）≥1．…（8分）
又f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，…（10分）
令h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=

x2-1

x2

+lnx，…（12分）

x	（0，1）	1	（1，2）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極 小值1	↗

由上表可知：h（x）_min=h（1）=1，
∴當a≥1時，對?x∈（0，2]，f（x）≥1．…（14分）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時條件的應用能力．