Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點M為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）若PD⊥平面ABCD，∠BCD=60°，∠ABD=30°，求證：AD⊥PB．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出MO∥AP，進而根據(jù)線面平行的判定定理證明出PA∥平面BMD．
（2）先證明出PD⊥AD和AD⊥BD．根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AD⊥平面PBD，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出AD⊥PB．

解答： （1）證明：連接AC，AC與BD相交于點O，連接MO，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點．
∵M為PC的中點，
∴MO∥AP．
∵PA?平面BMD，MO?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD．
∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ABD=30°，
∴∠ADB=30°．
∴AD⊥BD．
∵PD∩BD=D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD．
∵PB?平面PBD，
∴AD⊥PB．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用．