Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx，a≠0．
（1）若b=2，且函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當a=3，b=2時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的解析式和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若b=2，則h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，
對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得h′（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0），
依題意，得h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即ax²+2x-1＞0在x＞0時有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax²+2x-1=0至少有一個正根．
∴a＞-1，
∴a≠0，
∴-1＜a＜0，或a＞0．
（2）當a=3，b=2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

x²-2x，（x＞0），
h′（x）=-

ax2+2x-1

x

=-

3x2+2x-1

x

=-

(x+1)(3x-1)

x

，
由h′（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

，此時0＜x＜

1

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由h′（x）＜0，解得-1＜x＜

1

3

，此時x＞

1

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當x=

1

3

時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值h（

1

3

）=ln

1

3

-

5

6

，
故h（x）=f（x）-g（x）的取值范圍是h（x）≤ln

1

3

-

5

6

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．