Question

【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量，的“相伴函數(shù)”為，

向量，稱為函數(shù)的“相伴向量”．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．

(1)設(shè)函數(shù)，求證：；

(2)記，的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)，，與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)已知點(diǎn)，滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）

【解析】

（1）依題意，將可化為h（x）于是結(jié)論可證；

（2）去絕對(duì)值得函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)求得k的范圍

（3）由f（x）sin（x+φ）可求得x0＝2kπφ，k∈Z時(shí)f（x）取得最大值，其中tanx0，換元求得的范圍，再利用二倍角的正切可求得tan2x0的范圍．

（1）∵

∴函數(shù)h（x）的相伴向量（，），

∴h（x）∈S

（2）∵則 ，，

則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又 ；函數(shù)，，與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為

（3）的相伴函數(shù)f（x）＝asinx+bcosxsin（x+φ），

其中cosφ，sinφ

當(dāng)x+φ＝2kπ，k∈Z即x0＝2kπφ，k∈Z時(shí)f（x）取得最大值，

∴tanx0＝tan（2kπφ）＝cotφ，

∴tan2x0．

令m，則 解得 （m=1不成立）

則tan2x0，（）

∵單調(diào)遞增，故m∈

∴tan