Question

14．?dāng)?shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，如果數(shù)字k恰好在第k個位置上，則稱有一個巧合．
（1）求巧合數(shù)ξ的分布列；
（2）求巧合數(shù)ξ的期望和方差．

Answer 1

分析 數(shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的總數(shù)為：${A}_{5}^{5}$，有1個巧合，即為有一個數(shù)字恰好在其位置，其他4個數(shù)字均不在對應(yīng)位置，依次求出巧合數(shù)為1的情況，進(jìn)而得出P（ξ=1）．

解答 解：（1）數(shù)字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的總數(shù)為：${A}_{5}^{5}$，
ξ=5時，5個數(shù)字均在對應(yīng)位置，有1種情況，P（ξ=5）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$；
ξ=4，4個數(shù)字在對應(yīng)位置，不可能出現(xiàn)，P（ξ=4）=0；
ξ=3，有3個數(shù)在對應(yīng)位置，另外2個數(shù)互換位置，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{10}{120}$；
ξ=2，有2個數(shù)在對應(yīng)位置，另外3個數(shù)不在對應(yīng)位置，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}×2}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{20}{120}$；
ξ=1，有1個數(shù)在對應(yīng)位置，另外4個數(shù)不在對應(yīng)位置，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}×3×3}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{45}{120}$；
ξ=0，所有5個數(shù)均不在對應(yīng)位置，P（ξ=0）=$\frac{4×[2+3×（1+2）]}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{44}{120}$；
所以，巧合數(shù)ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5
P	$\frac{44}{120}$	$\frac{45}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{10}{120}$	$\frac{1}{120}$

（2）巧合數(shù)ξ的期望：E（ξ）=0×$\frac{44}{120}$+1×$\frac{45}{120}$+2×$\frac{20}{120}$+3×$\frac{10}{120}$+5×$\frac{1}{120}$=1；
巧合數(shù)ξ的方差：D（ξ）=E（ξ²）-[E（ξ）]²=2-1=1．

點評 本題考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．