Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）的定義域?yàn)閇$\frac{1}{4}$，4]，
（1）若t=log₂x，求t的取值范圍；
（2）求y=f（x）的最大值與最小值，并求出最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．
（3）解不等式f（x）-6＞0．

Answer 1

分析 （1）由x∈[$\frac{1}{4}$，4]和t=log₂x，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可得；
（2）化簡(jiǎn)換元可得y=t²+3t+2，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（3）不等式f（x）-6＞0可化為t²+3t-4＞0，解t的范圍結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）∵x∈[$\frac{1}{4}$，4]，∴t=log₂x∈[log₂$\frac{1}{4}$，log₂4]
∴t的取值范圍為[-2，2]；
（2）化簡(jiǎn)可得y=log₂（4x）•log₂（2x）
=（log₂4+log₂x）（log₂2+log₂x）
=（2+t）（1+t）=t²+3t+2，
由二次函數(shù)可得當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，y取最小值-$\frac{1}{4}$，此時(shí)x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
當(dāng)t=2時(shí)，y取最大值12，此時(shí)x=1；
（3）不等式f（x）-6＞0可化為t²+3t-4＞0，
解得t＜-4或t＞1即log₂x＜-4或log₂x＞1，
即log₂x＜log₂$\frac{1}{16}$或log₂x＞log₂2，
解得x＜$\frac{1}{16}$或x＜2，故解集為{x|x＜$\frac{1}{16}$或x＜2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及換元法和二次函數(shù)的最值以及對(duì)數(shù)不等式的解集，屬中檔題．