【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點、分別為，的中點，且平面平面.

（1）求證：平面.

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；

（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角；

解：（1）∵，點為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

又∵，分別為，的中點，

∴，∴，

又平面，平面，，

∴平面.

（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，∵，∴，，

，，

∴，，，

設平面的法向量為，

由，得，令，得，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了保護環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關系可近似的表示為：

，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼萬元．

（1）當時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；

如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．

（1）證明：AP∥平面EBD；

（2）證明：BE⊥PC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網(wǎng)絡知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】奇函數(shù)f（x）在R上存在導數(shù)，當x＜0時，f（x），則使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范圍為（ ）

A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C.（﹣1，0）∪（1，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）由頻率分布直方圖估計該校高三年級男生身高的中位數(shù)；

（2）在這50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，則恰有一人身高在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且離心率為，設分別是為橢圓的上下頂點

（1）求橢圓的方程；

（2）過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點，當弦的中點落在四邊形內(nèi)（含邊界）時，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：交于點A，B，且（點O為坐標原點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q使得點P到直線AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點Q坐標，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動圓Q經(jīng)過定點，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？

（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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