Question

19.

已知公比為q(0＜q＜1)的無窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為。

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q：

（Ⅱ）對(duì)給定的k(k=1,2,…,n),設(shè)T{k}是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求數(shù)列T{2}的前10項(xiàng)之和：

（Ⅲ）設(shè)b_i為數(shù)列的第i項(xiàng)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整數(shù)m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n時(shí)該無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限）

Answer 1

解(Ⅰ)由題設(shè)可得:

∴數(shù)列的首項(xiàng)為3,公比q為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差

，即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。

(Ⅲ)∵為數(shù)列的第i項(xiàng)，是首項(xiàng)為,公差為2-1的等差數(shù)列，

      ∴

又

=

=

令

則

以上兩式相減得：

                  

                  

                ∴

∴

∴

因?yàn)閙>1，且存在，

顯然，當(dāng)m=2時(shí)，,

當(dāng)m>2時(shí)，，由題設(shè)不等于0，因此m>2不合題意，舍去。

 故滿足題設(shè)的m的值為2。