Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．
（1）求O點(diǎn)到面ABC的距離；
（2）求異面直線BE與AC所成的角的余弦值；
（3）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：幾何法：
（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD，過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，由已知條件推導(dǎo)出OH的長就是所要求的距離．由此能求出O點(diǎn)到面ABC的距離．
（2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM∥AC，∠BEM是異面直線BE與AC所成的角．由此能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．
（3）連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF．∠EFC就是所求二面角的平面角．由此能求出二面角E-AB-C的余弦值．
向量法：
（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出點(diǎn)O到面ABC的距離．
（2）

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，利用向量法能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．
（3）分別求出平面EAB的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
幾何法：
解：（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD，
∵OB=OC，則OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD．過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，
則OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離．
BC=2

2

，OD=

OC2-CD2

=

2

．
∵OA⊥OB、OA⊥OC，∴OA⊥面OBC，
則OA⊥OD.AD=

OA2+OD2

=

3

，
在直角三角形OAD中，有OH=

OA•OD

AD

=

2

3

=

6

3

．…（4分）
（2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM∥AC，
∠BEM是異面直線BE與AC所成的角．
∵OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)，
∴EM=

1

2

AC=

5

2

，BE=

OB2-OE2

=

5

，
BM=

OM2+OB2

=

17

2

，
cos∠BEM=

BE2+ME2-BM2

2BE•ME

=

2

5

，
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值是

2

5

．…（8分）
（3）連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF．
∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB．又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，
則∠EFC就是所求二面角的平面角．
作EG⊥CF于G，則EG=

1

2

OH=

6

6

．
在直角三角形OAB中，OF=

OA•OB

AB

=

2

5

，
在直角三角形OEF中，EF=

OE2+OF2

=

1+ 4 5

=

3

5

，
∴sin∠EFG=

EG

EF

=

6 6

3 5

=

30

18

．
∴cos∠EFG=

1-( 30 18 )2

=

7 6

18

，
∴二面角E-AB-C的余弦值為

7 6

18

．…（14分）
向量法：
解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）．
設(shè)平面ABC的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則由

n1

⊥

AB

知：

n1

•

AB

=2x-z=0；
由

n1

⊥

AC

知：

n1

•

AC

=2y-z=0．取

n1

=(1，1，2)，
則點(diǎn)O到面ABC的距離為d=

| n1 • OA |

| n1 |

=

2

1+1+4

=

6

3

．…（4分）
（2）

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)，
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

，
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值是

2

5

．…（8分）
（3）設(shè)平面EAB的法向量為

n

=(x，y，z)，
則由

n

⊥

AB

知：

n

•

AB

=2x-z=0；
由

n

⊥

EB

知：

n

•

EB

=2x-y=0．取

n

=(1，2，2)．
由（1）知平面ABC的法向量為

n1

=(1，1，2)．
則cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1+2+4

9 • 6

=

7

3 6

=

7 6

18

．
結(jié)合圖形可知，二面角E-AB-C的余弦值為

7 6

18

．
∴二面角E-AB-C的余弦值為

7 6

18

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查異面直線所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．