Question

設(shè)過原點O的直線與圓C：x²+（y-1）²=1相交于兩點O，P，點M為線段OP的中點．
（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）求點M軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）圓C：x²+（y-1）²=1，即圓x²+y²-2y=0，求得圓的極坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)點P的極坐標為（ρ₁，θ₁），點M的極坐標為（ρ，θ），根據(jù)點M為線段OP的中點，可得ρ₁=2ρ，θ₁=θ，將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標方程，求得點M軌跡的極坐標方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：x²+（y-1）²=1，即圓x²+y²-2y=0，
∴圓C的極坐標方程為ρsinθ=2；
（Ⅱ）設(shè)點P的極坐標為（ρ₁，θ₁），點M的極坐標為（ρ，θ），
∵點M為線段OP的中點，∴ρ₁=2ρ，θ₁=θ，
將ρ₁=2ρ，θ₁=θ代入圓的極坐標方程，得ρ=sinθ．
∴點M軌跡的極坐標方程為ρ=sinθ，它表示圓．

點評：本題主要考查把直角坐標方程化為極坐標方程的方法，求點的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．