【題目】已知橢圓C:的焦距為2,左右焦點(diǎn)分別為,,以原點(diǎn)O為圓心,以橢圓C的半短軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
若直線(xiàn)與的斜率分別為,,且,求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
若直線(xiàn)l的斜率是直線(xiàn)OA,OB斜率的等比中項(xiàng),求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)(i)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為;(ii)面積的取值范圍為
【解析】
試題(1)先根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)得,再結(jié)合橢圓幾何條件得當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí),△面積最大,此時(shí),所以.(2)(i)證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,一般方法以算代證,即求出直線(xiàn)方程,根據(jù)方程特征確定其過(guò)定點(diǎn),本題關(guān)鍵求出之間關(guān)系即可得出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).由得,即,因此聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得;(ii)先分析條件:直線(xiàn)的斜率時(shí)直線(xiàn),斜率的等比中項(xiàng),即,,化簡(jiǎn)得,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得,這樣三角形面積可用m表示,其中高利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離得到,底邊邊長(zhǎng)利用弦長(zhǎng)公式得到:,最后根據(jù)基本不等式求最值
試題解析:(1)由拋物線(xiàn)的方程得其焦點(diǎn)為,所以橢圓中,
當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí),△面積最大,此時(shí),所以.
,為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),△面積的最大值為1,
所以橢圓的方程為.
(2)聯(lián)立得,
,得(*)
設(shè),,則,,
(i),,由,得,
所以,即,
得,
所以直線(xiàn)的方程為,因此直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)坐標(biāo)為.
(ii)因?yàn)橹本(xiàn)的斜率是直線(xiàn),斜率的等比中項(xiàng),所以,即,
得,得,所以,又,所以,
代入(*),得.
.
設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則,
所以 ,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),△面積取最大值.
故△面積的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行.
(1)求實(shí)數(shù);
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),當(dāng)時(shí), 恒成立,求整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題共14分)如圖,在三棱錐中, 底面
,點(diǎn), 分別在棱上,且(Ⅰ)求證: 平面;(Ⅱ)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的大;(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩圓的圓心分別為,P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線(xiàn)的斜率之積為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程;
(Ⅱ)是否存在過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線(xiàn)l與軌跡M交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得?若存在,求直線(xiàn)l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),它與曲線(xiàn)
C:(y-2)2-x2=1交于A、B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長(zhǎng);
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)P到線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬(wàn)元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽(yáng)能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位:萬(wàn)元)與太陽(yáng)能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽(yáng)能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬(wàn)元)與安裝的這種太陽(yáng)能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽(yáng)能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和.
(1)試解釋的實(shí)際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為多少平方米時(shí),取得最小值?最小值是多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)f(x)-g(x)必有零點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)-1
①若函數(shù)G(x)有兩相異零點(diǎn)且在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
②是否存在整數(shù)a,b使得的解集恰好為若存在,求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲(chóng)農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑,以防止害蟲(chóng)的危害,但蔬菜上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時(shí)需要用清水清洗干凈,下表是用清水(單位:千克)清洗蔬菜千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥(單位:微克)的統(tǒng)計(jì)表:
(1)在下面的坐標(biāo)系中,描出散點(diǎn)圖,并判斷變量與是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)若用解析式作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量的回歸方程,令,計(jì)算平均值與,完成以下表格(填在答題卡中),求出與的回歸方程.(保留兩位有效數(shù)字);
(3)對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量低于微克時(shí)對(duì)人體無(wú)害,為了放心食用該蔬菜,請(qǐng)?jiān)u估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到,參考數(shù)據(jù))(附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為: )
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