【題目】“禿發(fā)”是一種常見的毛發(fā)疾病，隨著發(fā)病人群年齡結(jié)構(gòu)的年變化，逐漸引起了社會的廣泛關(guān)注.一個人出生時頭發(fā)數(shù)量約為100000根，數(shù)學徐老師建立了“禿發(fā)”函數(shù)模型作預估：一個人歲時的頭發(fā)根數(shù)為，其中稱為“脫發(fā)指數(shù)”.

（1）杜老師5歲時有74375根頭發(fā)，請依據(jù)模型求出杜老師的“脫發(fā)指數(shù)”的值；

（2）徐老師的學生認為“禿發(fā)”函數(shù)模型中有兩個缺點：①頭發(fā)的根數(shù)應該為整數(shù)；②頭發(fā)的根數(shù)不能為負數(shù)，徐老師感覺很有道理，將模型作了兩處修正，請寫出修正后（1）問中杜老師的“禿發(fā)”函數(shù)模型，并求出杜老師幾歲時頭發(fā)最多.

【答案】（1）；（2），杜老師4歲時頭發(fā)最多.

【解析】

（1）將代入求解即可求出的值；

（2）引入求整數(shù)的符號，且將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，當函數(shù)值為負數(shù)時變?yōu)槌?shù)0即可，最后結(jié)合基本不等式求出即可.

（1）依題意，當時，，

解得，，所以，杜老師的“脫發(fā)指數(shù)”的值為3125；

（2）依題意可得，，

其中表示不超過x的最大整數(shù)，

由，

當且僅當時，等號成立，此時，.

即杜老師4歲時頭發(fā)最多.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過的平面與側(cè)面的交線為，且滿足（表示的面積）.

（1）證明： 平面；

（2）當時，二面角的余弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著共享單車的成功運營，更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機抽取1000人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進行了問卷調(diào)查，并對參與調(diào)查的1000人中的性別以及意見進行了分類，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

男

女

總計

認為共享產(chǎn)品對生活有益

400

300

700

認為共享產(chǎn)品對生活無益

100

200

300

總計

500

500

1000

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.1％的前提下，認為共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系？

（2）為了答謝參與問卷調(diào)查的人員，該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機發(fā)放1張超市的購物券，購物券金額以及發(fā)放的概率如下：

購物券金額

20元

50元

概率

現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券，記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為，求的分布列和數(shù)學期望．

參考公式： ．

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市小型機動車駕照“科二”考試中共有5項考察項目，分別記作①，②，③，④，⑤.

（1）某教練將所帶10名學員“科二”模擬考試成績進行統(tǒng)計（如圖1所示）,并打算從恰有2項成績不合格的學員中任意抽出2人進行補測（只測不合格的項目），求補測項目種類不超過3項的概率；

（2）如圖2，某次模擬演練中，教練要求學員甲倒車并轉(zhuǎn)向90°，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?/span>. 根據(jù)經(jīng)驗,學員甲轉(zhuǎn)向90°后可使車尾邊緣完全落在線段CD,且位于CD內(nèi)各處的機會相等.若CA="BD=0.3m," AB="2.4m." 汽車寬度為1.8m, 求學員甲能按教練要求完成任務的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，其中為橢圓的離心率.過點作斜率為的直線交橢圓于兩點（在軸下方）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點且平行于的直線交橢圓于點， ，求的值；

（3）記直線與軸的交點為.若，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，是定義域為的奇函數(shù)．

（1）確定的值；

（2）若，函數(shù)，，求的最小值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】正方體中，與平面所成角的正弦值為__________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(本小題滿分12分)

已知函數(shù),且.

（Ⅰ）求的定義域；

（Ⅱ）判斷的奇偶性并予以證明；

（Ⅲ）當時，求使的的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝2x.

(1)求f(log2)的值；

(2)求f(x)的解析式．

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