Question

10．已知P：|$\frac{1-a}{3}$|＜2，q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B≠∅，若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別化簡(jiǎn)命題p、q，由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得：p與q必然一真一假．即可得出．

解答 解：易知：命題p：-5＜a＜7；…（2分）
命題q由A∩B≠∅，得：x²+（a+2）x+1=0在（0，+∞）有解
即：-（a+2）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，-（a+2）≥2，即a≤-4；…（5分）
由“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，知：命題p與命題q一真一假
（i）當(dāng)p真q假時(shí)，即$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a＞-4}\end{array}\right.$得：-4＜a＜7  …（8分）
（ii）當(dāng)q真p假時(shí)，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥7或a≤-5}\\{a≤-4}\end{array}\right.$得：a≤-5  …（11分）
綜述：實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，-5]∪（-4，7）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．