Question

9．對于定義在D上函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈D，對任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有下界，把f（x₀）稱為函數(shù)f（x）在D上的“下界”，若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去“下界”的差稱為函數(shù)f（x）在D上的“幅度M”，對于實數(shù)a，試探究函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a≤$\frac{1}{2}$）是不是[1，2]上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度M”的值．

Answer 1

分析 求出F（x）的分段函數(shù)式，討論①當a≤0時，②當0＜a≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)的解析式和對稱軸，與區(qū)間的關(guān)系，由單調(diào)性即可得到最值和幅度M的值．

解答 解：F（x）=x|x-2a|+3=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2ax+3，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax+3，x＞2a}\end{array}\right.$，
①當a≤0時，F(xiàn)（x）=x²-2ax+3對稱軸為x=a，在[1，2]遞增，
F（x）_max=F（2）=7-4a，F(xiàn)（x）_min=F（1）=4-2a，
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a；
②當0＜a≤$\frac{1}{2}$時，F(xiàn)（x）=x²-2ax+3，
區(qū)間[1，2]在對稱軸的右邊，為增區(qū)間，
F（x）_max=F（2），F(xiàn)（x）_min=F（1），
幅度M=F（2）-F（1）=3-2a．
綜上可得是[1，2]上的“有界函數(shù)”，
“幅度M”的值為3-2a．

點評 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意單調(diào)性的運用，屬于中檔題．