Question

【題目】已知函數(shù), ．

（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)x＜0時(shí)，研究函數(shù)F（x）=h（x）﹣g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導(dǎo)數(shù)，討論a＞1和a≤1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F'（x）的單調(diào)性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，令；由（2）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，對(duì)x＜0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證．

（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），

則，

①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，

H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿(mǎn)足，所以a≤1；

②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，

且x→+∞時(shí)，H'（x）→+∞，則x0∈（0，+∞），

使H'（x0）=0進(jìn)而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)H（x）＜H（0）=0，

即當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＞h（x），不滿(mǎn)足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．

（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，

則F'（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，

所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時(shí)，F(xiàn)'（x）→﹣∞；

①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，

故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（﹣∞，0）無(wú)零點(diǎn)；

②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，

進(jìn)而F（x）在遞減，在遞增，，

且x→﹣∞時(shí)，，

F（x）在上有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，

故F（x）在（﹣∞，0）有一個(gè)零點(diǎn)．

綜合①②，當(dāng)a≤﹣1時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＞﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，

令，則即；

由（Ⅱ）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，span>對(duì)x＜0恒成立，

令，則，所以；

故有．