Question

（理科學(xué)生做）已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象上．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)an=n(n∈N*)，過點A_n（a_n+2，0），B_n（0，（n+2）b_n+1）的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實數(shù)t，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{a_n}，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3，得到一個新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項和，試探究2014是否是數(shù)列{S_n}中的某一項，寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題中已知條件以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)，先求出b_n的通項公式，然后證明為常數(shù)即可證明；
（2）先求出b_n的通項公式，然后求出c_n的表達式，可知數(shù)列c_n隨n增大而減小，故c₁≤t，便可求出t的最小值；
（3）根據(jù)題意先求出d_n的表達式，然后求出S_n的表達式，因為2014-1120=894=298×3，是3的倍數(shù)，所以存在自然數(shù)m，使S_m=2014．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
由已知b_n=(

1

2

)an，∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴

bn+1

bn

=(

1

2

)d（常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）∵a_n=n，∴b_n=(

1

2

)n
∴c_n=(n+2)2•(

1

2

)n+2，
∴

cn+1

cn

=

(n+3)2

2(n+2)2

＜1，
∴數(shù)列{c_n}隨n增大而減小，
∵c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立
∴c₁≤t，
∴t≥

9

8

，
∴最小的實數(shù)t為

9

8

；
（3））∵a_n=n，∴數(shù)列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止（含a_k項）的所有項的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
當(dāng)k=7時，其和是28+

37-3

2

=1120＜2014，而當(dāng)k=8時，其和是36+

38-3

2

=3315＞2014，
又∵2014-1120=894=298×3，是3的倍數(shù)，
所以存在自然數(shù)m，使S_m=2014．
此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+298=669．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．