Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，直線y=x+

2

與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，求證：2m-k為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線y=x+

2

與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，求出b，利用離心率及a²=b²+c²求出a，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點坐標，兩直線方程聯(lián)立解出M點坐標，由D，P，N三點共線解出N點坐標，由兩點求斜率得到MN的斜率m，代入2m-k化簡整理即可得到2m-k為定值．

解答： （1）解：∵直線y=x+

2

與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，
∴

| 2 |

2

=b，
∴b=1，
∵e=

c

a

=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：∵B（2，0），P不為橢圓頂點，則可設(shè)直線BP的方程為y=k（x-2）（k≠0，k≠±

1

2

）．
代入橢圓方程，可得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴x_P+2=

16k2

4k2+1

，
∴x_P=

8k2-2

4k2+1

，
∴y_P=-

4k

4k2+1

．
所以P（

8k2-2

4k2+1

，-

4k

4k2+1

）．
又直線AD的方程為y=

1

2

x+1．
聯(lián)立

y=k(x-2) y= 1 2 x+1

，解得M（

4k+2

2k-1

，

4k

2k-1

）．
由三點D（0，1），P（

8k2-2

4k2+1

，-

4k

4k2+1

），N（x，0）共線，
得

- 4k 4k2+1 -1

8k2-2 4k2+1 -0

=

0-1

x-0

，所以N（

4k-2

2k+1

，0）．
∴MN的斜率為m=

4k 2k-1 -0

4k+2 2k-1 - 4k-2 2k+1

=

2k+1

4

．
則2m-k=

2k+1

2

-k=

1

2

．
∴2m-k為定值

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了二次方程中根與系數(shù)關(guān)系，考查了由兩點求斜率的公式，是中高檔題．