Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺¹，a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

+

1

2

}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n+r2ⁿ}是等比數(shù)列，求r；
（3）求

an

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）可對(duì)等式兩邊同除以2ⁿ⁺¹，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）可由等比數(shù)列的性質(zhì)，得到r的方程，解出，再加以檢驗(yàn)即可；
（3）由（1）得到a_n，即可得到所求．

解答： （1）證明：數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=6a_n+2ⁿ⁺¹，a₁=1，
令b_n=

an

2n

+

1

2

，則b_n+1=

an+1

2n+1

+

1

2

，
則有

an+1

2n+1

+

1

2

=3（

an

2n

+

1

2

），即有b_n+1=3b_n，
故數(shù)列{

an

2n

+

1

2

}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得，

an

2n

+

1

2

=3^n-1，
即有a_n=2ⁿ（3^n-1-

1

2

），
若數(shù)列{a_n+r2ⁿ}是等比數(shù)列，
即有a₁+2r，a₂+4r，a₃+8r成等比數(shù)列，
即1+2r，10+4r，68+8r成等比數(shù)列，
則（1+2r）（68+8r）=（10+4r）²，
解得r=

1

2

，
則a_n+r2ⁿ=2ⁿ（3^n-1-

1

2

）+

1

2

•2ⁿ=

1

3

•6ⁿ，
則{a_n+r2ⁿ}是以2為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列；
（3）解：由（2）得，

an

2

=2^n-1（3^n-1-

1

2

）=6^n-1-2^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判斷，注意運(yùn)用定義，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查構(gòu)造數(shù)列的思想方法求復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．