Question

已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量

OM

=（a，b）為函數(shù)f（x）的伴隨向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量

OM

的伴隨函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=sin（

π

2

+x）+2cos（

π

2

-x），試求g（x）的伴隨向量

OM

的模；
（Ⅱ）記

ON

=（1，

3

）的伴隨函數(shù)為h（x），求使得關(guān)于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)g（x），結(jié)合已知的新定義求得伴隨向量

OM

的坐標(biāo)，再由模的計算公式求模；
（Ⅱ）根據(jù)給出的

ON

=（1，

3

），求得其伴隨函數(shù)h（x），由給出的x的范圍求得h（x）的值域，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求使得關(guān)于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)=sin(

π

2

+x)+2cos(

π

2

-x)=2sinx+cosx，
∴

OM

=(2，1)． 
故|

OM

|=

22+12

=

5

；
（Ⅱ）∵

ON

=（1，

3

），
∴

ON

=（1，

3

）的伴隨函數(shù)h(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

5π

6

，
故h（x）∈[1，2]．
∵當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，且h(x)∈[

3

，2]；
當(dāng)x∈(

π

6

，

π

2

]時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，且h（x）∈[1，2）．
∴使得關(guān)于x的方程h（x）-t=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍為t∈[

3

，2)．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．