Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

，將函數(shù)f（x）的圖象整體向右平移

π

6

個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡函數(shù)f（x）為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用函數(shù)圖象的平移得到函數(shù)g（x）的解析式．
（1）直接由周期公式求函數(shù)f（x）的周期，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）直接由x的范圍求得2x的范圍，進一步求得函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

(2cos2x-1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴函數(shù)f（x）的圖象整體向右平移

π

6

個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)：
g（x）=f（x-

π

6

）=2sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=2sin2x．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時，2x∈[

π

3

，

2π

3

]，

3

≤2sin2x≤2．
∴函數(shù)g（x）的值域為[

3

，2]．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換與應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的周期與單調(diào)性的求法，訓(xùn)練了利用角的范圍求三角函數(shù)值的范圍，是中檔題．