Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

a

+bx-lnx．
（1）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值；
（2）若b=-1，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，分別令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，即可得到增區(qū)間和減區(qū)間，極值，注意定義域．
（2）利用參數(shù)分離將問題轉(zhuǎn)化成

1

a

=

x+lnx

x2

有唯一正實數(shù)根，再通過求導(dǎo)的方式研究其性質(zhì)，注意到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，因此在研究時，可將導(dǎo)函數(shù)分成分子，分母來分別研究．

解答： 解：（1）f（x）=x²+x-lnx，（x＞0），
f′（x）=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，
當(dāng)x＞

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

2

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間（0，

1

2

）．有極小值f（

1

2

）=

3

4

+ln2，無極大值；
（2）由f（x）=

x2

a

-x-lnx=0，即

1

a

=

x+lnx

x2

有唯一正實數(shù)根．
令g（x）=

x+lnx

x2

，即函數(shù)y=

1

a

與函數(shù)y=g（x）有唯一交點；
g′（x）=

x-x2-2xlnx

x4

=

1-x-2lnx

x3

，
再令R（x）=1-x-2lnx，R'（x）=-1-

2

x

，?x＞0，
且易得R（1）=0，
故當(dāng)x∈（0，1）時，R（x）＞0，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，R（x）＜0，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
即g（x）≤g（1）=1，
又當(dāng)x→0時，g（x）→-∞，
而當(dāng)x→+∞時，g（x）→0且g（x）＞0，
故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為：{a|a＜0，或a=1}．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查參數(shù)分離是恒成立問題中常用的技巧方法，值得一提的是在用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)時，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)形式比較復(fù)雜時，可以考慮分別去研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．