Question

實(shí)數(shù)a，b，c滿足2b=a+c，求ax+by+c=0被圓x²+y²=5截得的線段中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：由2b=a+c得c=2b-a，代入ax+by+c=0得直線必過定點(diǎn)（1，-2），又知該點(diǎn)在圓上，設(shè)出線段另一端點(diǎn)坐標(biāo)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，另一中點(diǎn)坐標(biāo)表示另一端點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得答案．

解答： 解：∵2b=a+c，
∴c=2b-a，代入ax+by+c=0得，ax+by+2b-a=0，
即a（x-1）+b（y+2）=0
故該直線必過定點(diǎn)（1，-2），
點(diǎn)（1，-2）在圓x²+y²=5上，
設(shè)直線ax+by+c=0被圓x²+y²=5截得的線段的另一端點(diǎn)為P（x₁，y₁），線段中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
則

x1+1=2x0 y1-2=2y0

，即

x1=2x0-1 y1=2y0+2

，
代入圓x²+y²=5，得(2x0-1)2+(2y0+2)2=5．
整理得：(x0-

1

2

)2+(y0+1)2=

5

4

．
∴ax+by+c=0被圓x²+y²=5截得的線段中點(diǎn)的軌跡方程為(x-

1

2

)2+(y+1)2=

5

4

(x≠1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線系方程的應(yīng)用，訓(xùn)練了代入法求軌跡方程，是中檔題．