Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162 m²的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/m²，中間兩道隔墻建造單價為248元/m²，池底建造單價為80元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計．

(1) 試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

(2) 若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16 m，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

Answer 1

解：(1) 設污水處理池的寬為x m，則長為 m.

總造價為f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296＋1 2960≥1 296×2＋12 960＝38 880元．當且僅當x＝(x>0)，即x＝10時取等號．∴ 當長為16.2 m，寬為10 m時總造價最低，最低總造價為38 880元．

(2) 由限制條件知∴ 10≤x≤16.設g(x)＋x＋，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在上是增函數(shù)，∴ 當x＝10時(此時＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×＋12 960＝38 882(元)．∴ 當長為16 m，寬為10 m時，總造價最低，為38 882元．