Question

【題目】

已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

（i）證明：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為，可以得到等式，化簡(jiǎn)可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；

（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計(jì)算的值，就可以證明出是直角三角形；

（ii）由（i）可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長(zhǎng)，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.

（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；

（2）（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)P在第一象限，所以，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為

直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程（*）的解

所以有，代入直線方程中，得

，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線的斜率為; ,

因?yàn)?/span>所以，因此是直角三角形；

（ii）由（i）可知：，

的坐標(biāo)為，

，

,

,因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.