Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F．
（1）求證：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；
（2）求直線AA₁到平面B₁BCC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面B₁BCC₁內(nèi)一直線與平面A₁EF垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可知CC₁⊥平面A₁EF；
（2）作A₁H⊥EF于H，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知A₁H⊥面B₁BCC₁，則A₁H為A₁到面B₁BCC₁的距離，在△A₁EF中，求出EF，然后根據(jù)△A₁EF為等腰Rt△且EF為斜邊，得到A₁H=

1

2

EF，即可求出所求．

解答：解：
（1）證明：CC₁∥BB₁，又BB₁⊥A₁E，
∴CC₁⊥A₁E，而CC₁⊥A₁F，∴CC₁⊥平面A₁EF，
∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁
（2）作A₁H⊥EF于H，則A₁H⊥面B₁BCC₁，
∴A₁H為A₁到面B₁BCC₁的距離，在△A₁EF中，A₁E=A₁F=

2

，EF=2，
∴△A₁EF為等腰Rt△且EF為斜邊，
∴A₁H為斜邊上中線，可得A₁H=

1

2

EF=1

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面距離的計算，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．