Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若點(diǎn)（2，2）在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若過焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵（2，2）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴由（2）²=2p×2得p=2
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1
（Ⅱ）證明：過焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，消元可得3x²-10x+3=0，
∴x₁=3，x₂=，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（3，2），B（，）
∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），
則k_MA=，k_MB=-，k_MF=-
∴k_MA+k_MB==-t=2k_MF，
∴k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）根據(jù)（2，2）在拋物線y²=2px（p＞0）上，可得p=2，從而可求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）過焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．