Question

【題目】已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值為2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值為2，

故函數(shù)的圖像的對稱軸為x=1，

可設(shè)函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．

根據(jù)f（﹣2）=9a+2=﹣16，求得a=﹣2，

故f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x

（2）解：當t≥1時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，

故最大值為f（t）=﹣2t2+4t，

當0＜t＜1時，函數(shù)f（x）在[t，1]上是增函數(shù)，在[1，t+1]上是減函數(shù)，

故函數(shù)的最大值為f（1）=2．

綜上，fmax（x）=

【解析】（1）由條件可得二次函數(shù)的圖像的對稱軸為x=1，可設(shè)函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根據(jù)f（﹣2）=﹣16，求得a的值，可得f（x）的解析式．（2）分當t≥1時和當0＜t＜1時兩種情況，分別利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值．