Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a_n=$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*）；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$，求證數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=log₂a_n=n．c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：∵滿(mǎn)足a_n=$\frac{1}{2}$S_n+1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$+1，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n-1}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$+1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：b_n=log₂a_n=n．
c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．