Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函數(shù)，且f（1）=3，f（2）=12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）①證明f（x）在R上是增函數(shù)；
②若m³-3m²+5m=5，n³-3n²+5n=1，求m+n的值．
（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性性和條件，建立方程即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）①由（1）中函數(shù)f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法易證得在R上為增函數(shù)；
②由已知可得：f（m-1）=2，f（n-1）=-2，結(jié)合（Ⅰ）和①中結(jié)論，可得m-1與n-1互為相反數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=3，f（2）=12．
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ 8a+2c=12\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴a，b，c的值分別為1，0，2；
（Ⅱ）證明：①由（Ⅰ）得f（x）=x³+2x，
則f′（x）=3x²+2，
由f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
②∵m³-3m²+5m=5，n³-3n²+5n=1，∴（m-1）³+2（m-1）=2，（n-1）³+2（n-1）=-2，
即f（m-1）=2，f（n-1）=-2，∴f（m-1）+f（n-1）=0?f（m-1）=f（1-n）
∴m-1=1-n，即m+n=2．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得到函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，
∵關(guān)于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k），
∴f（x²-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
∴x²-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
設(shè)g（x）=x²+kx+2k-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（0）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2k-4≤0\\ 3k-3≤0\end{array}\right.$，
∴k≤1，
∴k的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題重點考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題，難度中等．