Question

7．A是直線l：y=3x上一點，且在第一象限，B的坐標為（3，2），直線AB交x軸正半軸于C，求使S_△AOC最小時A點的坐標，并求此最小值．（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 設點A（a 3a），a＞0，點C坐標為（b，0），b＞0，則直線AB的斜率為$\frac{3a-2}{a-3}$=$\frac{-2}{b-3}$，解得 b 的值，求得B的坐標，表示出△OAB面積，利用判別式大于或等于零求出S的最小值，并求出此時a的值 即可得到B的坐標．

解答 解：設點A（a 3a），a＞0，點C坐標為（b，0），b＞0，
則直線AB的斜率為$\frac{3a-2}{a-3}$=$\frac{-2}{b-3}$，解得 b=$\frac{7a}{3a-2}$，
故C的坐標為（$\frac{7a}{3a-2}$，0），
故△OAB面積為 S=$\frac{1}{2}$×$\frac{7a}{3a-2}$×3a=$\frac{21{a}^{2}}{6a-4}$，
即21a²-6Sa+4S=0．
由題意可得方程21a²-6Sa+4S=0有解，
故判別式△=36S²-336S≥0，
S≥$\frac{28}{3}$，故S的最小值等于$\frac{28}{3}$，此時，
方程為21a²-56a+$\frac{112}{3}$=0，解得 a=$\frac{4}{3}$．
綜上可得，△OAB面積的最小值為$\frac{28}{3}$，當△OAB面積取最小值時點B的坐標為（$\frac{4}{3}$，4）．

點評 本題主要考查直線的一般式方程的應用，直線的斜率公式，一元二次方程有解得條件，屬于中檔題．