精英家教網如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F(xiàn),G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.
(Ⅰ)求證:DE∥平面BCP;
(Ⅱ)求證:四邊形DEFG為矩形;
(Ⅲ)是否存在點Q,到四面體PABC六條棱的中點的距離相等?說明理由.
分析:(I)根據(jù)兩個點是兩條邊的中點,得到這條線是兩條邊的中位線,得到這條線平行于PC,根據(jù)線面平行的判定定理,得到線面平行.
(II)根據(jù)四個點是四條邊的中點,得到中位線,根據(jù)中位線定理得到四邊形是一個平行四邊形,根據(jù)兩條對角線垂直,得到平行四邊形是一個矩形.
(III)做出輔助線,證明存在點Q到四面體PABC六條棱的中點的距離相等,根據(jù)第二問證出的四邊形是矩形,根據(jù)矩形的兩條對角線互相平分,又可以證出另一個矩形,得到結論.
解答:證明:(I)∵D,E分別為AP,AC的中點,
∴DE∥PC,
∵DE?平面BCP,
∴DE∥平面BCP.
(II)∵D,E,F(xiàn),G分別為AP,AC,BC,PB的中點,精英家教網
∴DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF
∴四邊形DEFG為平行四邊形,
∵PC⊥AB,
∴DE⊥DG,
∴四邊形DEFG為矩形.
(III)存在點Q滿足條件,理由如下:
連接DF,EG,設Q為EG的中點,
由(II)知DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=
1
2
EG,
分別取PC,AB的中點M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN,
與(II)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線交點為EG的中點Q,
且QM=QN=
1
2
EG,
∴Q為滿足條件的點.
點評:本題考查直線與平面平行的判定,考查三角形中位線定理,考查平行四邊形和矩形的判定及性質,本題是一個基礎題.
練習冊系列答案
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(2012•廣州一模)如圖,在四面體PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點.
(1)求證:D、E、F、G四點共面;
(2)求證:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,PC=
2
,求四面體PABC的體積.

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(1)求證:D、E、F、G四點共面;

(2)求證:PC⊥AB;

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如圖,在四面體PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點.
(1)求證:D、E、F、G四點共面;
(2)求證:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,,求四面體PABC的體積.

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如圖,在四面體PABC中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點.
(1)求證:D、E、F、G四點共面;
(2)求證:PC⊥AB;
(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,,求四面體PABC的體積.

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