Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿(mǎn)足對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（3）如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=1，即可得f（1）；令x₁=x₂=-1，即可得到f（-1）；
（2）由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可令x₁=x，x₂=-1，即可得到f（-x）=f（x），即為偶函數(shù)；
（3）令x₁=x₂=4，求得f（16）=2．再由單調(diào)性得到|x-1|＜16，解出即可．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），則f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，則f（1）=2f（-1）=0，即f（-1）=0；
（2）f（x）為偶函數(shù)．由于f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，
可令x₁=x，x₂=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），故f（x）為偶函數(shù)．
（3）由于f（4）=1，則f（16）=2f（4）=2．
f（x-1）＜2即為f（x-1）＜f（16）．
由于f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則0＜|x-1|＜16，解得-15＜x＜17且x≠1．
故x的取值范圍是（-15，1）∪（1，17）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．