Question

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，點B，F(xiàn)₂關(guān)于F₁對稱，且AB⊥AF₂
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知P是過A，B，F(xiàn)₂三點的圓上的點，若△AF₁F₂的面積為

3

，求點P到直線l：x-

3

y-3=0距離的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由AB⊥AF₂及勾股定理可知AB2+A

F

2 2

=B

F

2 2

，即9c²+b²+a²=16c²，由此能示出橢圓離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知△AF₁F₂是邊長為a的正三角形，所以S=

3

4

a2=

3

，解得a=2，c=1，b=

3

，由此求出△ABF的外接圓圓心為F₁（-1，0），半徑r=2，F(xiàn)₁（-1，0）到直線l的距離為d=2，由此能求出P到直線l：x-

3

y-3=0距離的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，B(-3c，0)，AB=

9c2+b2

，AF2=a，BF2=4c…（2分）
由AB⊥AF₂及勾股定理可知AB2+A

F

2 2

=B

F

2 2

，即9c²+b²+a²=16c²…（4分）
因為b²=a²-c²，所以a²=4c²，解得e=

c

a

=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知△AF₁F₂是邊長為a的正三角形，所以S=

3

4

a2=

3

解得a=2，c=1，b=

3

…（8分）
由AB⊥AF₂可知直角三角形ABF₂的外接圓以F₁（-1，0）為圓心，半徑r=2
即點P在圓（x+1）²+y²=4上，…（10分）
因為圓心F₁到直線l：x-

3

y-3=0的距離為d=

|1+3|

2

=2=r…（12分）
故該圓與直線l相切，所以點P到直線l的最大距離為2r=4…（13分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．