Question

如圖為函數(shù)，f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，K≠0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象的一部分．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（1）+f （2）+f（3）+…f（2008）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）根據(jù)函數(shù)的圖象，求出A、k、T的值，從而求出f（x）的解析式以及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的周期是4，求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

解答： 解：（I）由圖象知，A=

2-0

2

=1，k=

2+0

2

=1，
且

T

2

=3-1=2，
∴T=4；
∴ω=

2π

T

=

2π

4

=

π

2

，
∴f（x）=sin（

π

2

x+φ）+1；
又∵函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1），
∴1=sinφ+1，
∴sinφ=0，又|φ|＜

π

2

，∴φ=0；
∴f（x）=sin

π

2

x+1；
由-

π

2

+2kπ≤

π

2

x≤

π

2

+2kπ （k∈Z）得，
-1+4k≤x≤1+4k，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1+4k，l+4k]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=sin

π

2

x+1的周期是T=4，
且f（1）=1+1=2，f（2）=0+1=1，f（3）=-1+1=0，f（4）=0+1=1；
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+l+0+1=4；
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=502×4=2008．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了應(yīng)用圖象分析問題、解決問題的能力，是基礎(chǔ)題目．