Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+1\\;x≥a}\\{{4}^{x}-4•{2}^{x-a}\\;x＜a}\end{array}\right.$．
（1）當x＜a時，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在實數(shù)x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若當x＜a時，f（x）＜0恒成立，則4^x-4•2^x-a＜0恒成立，根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)已知的分段函數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況，根據(jù)存在實數(shù)x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立，分析兩段函數(shù)的最值的關系，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若當x＜a時，f（x）＜0恒成立，
則4^x-4•2^x-a＜0恒成立，
則4^x＜4•2^x-a恒成立，
則2^2x＜2^x+2-a恒成立，
則2x＜x+2-a恒成立，
則x＜2-a恒成立，
則2-a≥a，
則a≤1，
即實數(shù)a的取值范圍為a≤1，
（2）若a≤0，
當x＜a時，f（x）＜4^a-4，
當x≥a時，f（x）≥f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
由實數(shù)x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立得：4^a-4＞1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
此時不存在滿足條件的a值；
若a＞0，
當x＜a時，f（x）＜4^a-4，
當x≥a時，f（x）≥f（a）=1，
由實數(shù)x₁≥a，x₂＜a，使得f（x₁）=f（x₂）成立得：4^a-4＞1，
解得：a＞log₄5

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，恒成立問題和存在性問題，將上述問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答的關鍵．